Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=

1

2

a

2 n

-

1

2

nan+1(n∈N*)，且a₁=3．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：（1）a₁=3，a_n+1=

1

2

an2-

1

2

na_n+1（n∈N^*），將n=1，2，3代入上式計(jì)算，猜想即可；
（2）對(duì)于a_n=n+2（n∈N^*），用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．①當(dāng)n=1時(shí)，證明結(jié)論成立，②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，利用歸納假設(shè)，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答：解：（1）∵a₁=3，a_n+1=

1

2

an2-

1

2

na_n+1（n∈N^*），
∴a₂=

1

2

×9-

1

2

×1×3+1=4，
同理可求a₃=5，a₄=6，猜想：a_n=n+2（n∈N^*）；
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=k+2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

1

2

ak2-

1

2

ka_k+1=

1

2

（k+2）²-

1

2

k（k+2）+1=

1

2

（k+2）[k+2-k]+1=k+3=（k+1）+1，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②得，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n+2（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，猜得a_n=n+2（n∈N^*）是關(guān)鍵，考查歸納推理與論證的能力，屬于中檔題．