Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ) 證明：PA⊥BD；
(Ⅱ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）由余弦定理得 ，證得BD²+AD²= AB²，故BDAD;可得 BD PD
所以BD 平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）因為, 由余弦定理得 
從而BD²+AD²= AB²，故BDAD;又PD 底面ABCD，可得BD PD
所以BD 平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標系D-，則

,,,。

設平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則,
 即
因此可取n=
設平面PBC的法向量為m，則
可取m=（0，-1，）        
故二面角A-PB-C的余弦值為 
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系、角的計算。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉化與化歸思想，將空間問題轉化成平面問題。