Question

直線l過點P（2，1），且分別與x，y軸的正半軸于A，B兩點，O為原點．
（1）求△AOB面積最小值時l的方程；
（2）|PA|•|PB|取最小值時l的方程．

Answer 1

分析：（1）設AB方程為

x

a

+

y

b

=1，點P（2，1）代入后應用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面積面積的最小值．
（2）設直線l的點斜式方程，求出A，B兩點的坐標，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意檢驗等號成立條件．

解答：解：（1）設A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，
AB方程為

x

a

+

y

b

=1，點P（2，1）代入得

2

a

+

1

b

=1≥2

2 ab

，∴ab≥8 
當且僅當

2

a

=

1

b

，且

2

a

+

1

b

=1，解得a=4，b=2時，等號成立，
故三角形OAB面積S=

1

2

ab≥4，
此時直線方程為：

x

4

+

y

2

=1，
即x+2y-4=0．
（2）設直線l：y-1=k（x-2），分別令y=0，x=0，
得A（2-

1

k

，0），B（0，1-2k）．
則|PA|•|PB|=

(4+4k2)(1+ 1 k2 )

=

8+4(k2+ 1 k2 )

≥4，
當且僅當k²=1，即k=±1時，|PA|•|PB|取最小值，
又∵k＜0，
∴k=-1，
這時l的方程為x+y-3=0．

點評：本題考查直線在坐標軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應用．