Question

兩城市A和B相距20km，現計劃在兩城市外以AB為直徑的半圓弧

AB

上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在

AB

的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065．
（1）將y表示成x的函數；
（2）判斷弧

AB

上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據“垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，”建立函數模型：y=

4

x2

+

k

400-x2

，再根據當x=10

2

時，y=0.065，求得參數k．
（2）總影響度最小，即為：求y=

4

x2

+

9

400-x2

=

5(x2+320)

-x4+400x2

的最小值時的狀態．令t=x²+320，將函數轉化為：y=

5

-(t+ 230400 t )+1040

，再用基本不等式求解．

解答：解：（1）由題意得y=

4

x2

+

k

400-x2

，
又∵當x=10

2

時，y=0.065，
∴k=9
∴y=

4

x2

+

9

400-x2

(x∈(0，20))（7分）
（2）y=

4

x2

+

9

400-x2

=

5(x2+320)

-x4+400x2

，
令t=x²+320∈（320，720），
則y=

5

-(t+ 230400 t )+1040

≥

1

16

，當且僅當t=480即x=4

10

時，等號成立．（14分）
∴弧

AB

上存在一點，該點到城A的距離為4

10

時，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小為0.0625．（16分）

點評：本題主要考查函數模型的建立和應用，主要涉及了換元法，基本不等式法和轉化思想的考查．