Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面所成的角為60°，AB=BC，A₁A=A₁C=2，AB⊥BC，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC．
（1）證明：A₁B⊥A₁C₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的大小；
（3）求經(jīng)過(guò)A₁、A、B、C四點(diǎn)的球的表面積．

Answer 1

分析：此題可利用空間向量做：由于A₁O⊥AC，BO⊥AC，A₁A=A₁C=2故取AC中點(diǎn)為O則A₁O⊥AC，BO⊥AC而側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC且故可利用面面垂直的性質(zhì)定理可得A₁O⊥OB所以可以O(shè)B，OC，OA₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）要證明A₁B⊥A₁C₁即證明

A1B

⊥

A1C1

即說(shuō)明

A1B

•

A1C1

=0即可故需求出

A1B

，

A1C1

的坐標(biāo)然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算求出

A1B

•

A1C1

即可．
（2）分別求出面BCC₁，面ACC₁的法向量m，n然后利用向量的夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求出＜

m

，

n

＞而點(diǎn)B在平面ACC₁內(nèi)的射影O在二面角的面ACC₁內(nèi)故二面角A-CC₁-B為銳角所以二面角A-CC₁-B的大小為＜

m

，

n

＞（cos＜

m

，

n

＞＞0）或π-＜

m

，

n

＞（cos＜

m

，

n

＞＜0）．
（3）由于A₁A=A₁C，AB⊥BC，O為AC的中點(diǎn)故A，B，C三點(diǎn)所在的平面截經(jīng)過(guò)A₁、A、B、C四點(diǎn)的球所得的截面為球的小圓而A₁O⊥平面ABC故經(jīng)過(guò)A₁、A、B、C四點(diǎn)的球的球心在A₁O上而三角形A₁AC為正三角形故根據(jù)對(duì)稱性可知球心在正三角形A₁AC的中心然后利用正三角形的性質(zhì)求出球的半徑再結(jié)合球的表面經(jīng)公式即可得解．

解答：解：取AC中點(diǎn)為O，由A₁A=A₁C，AB=BC，知A₁O⊥AC，BO⊥AC，
又平面AA₁C₁C⊥平面ABC，所以A₁O⊥OB．
建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz，則A（0，-1，0），B（1，0，0），
A₁（0，0，

3

），C（0，1，0）．
（1）∵

A1B

=（1，0，-

3

），

A1C1

=

AC

=（0，2，0）
∴

A1B

•

A1C1

=0
∴A₁B⊥A₁C₁．
（2）設(shè)

m

=（x，y，z）為面BCC₁的一個(gè)法向量．
∵

BC

=（-1，1，0），

CC1

=

AA1

=（0，1，

3

）
又

m

•

BC

=

m

•

CC1

=0，
∴

-x+y=0 y+ 3 z=0

取n=（

3

，

3

，-1）．
又

n

=（1，0，0）是面ACC₁的法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3

7

=

21

7

．
由點(diǎn)B在平面ACC₁內(nèi)的射影O在二面角的面ACC₁內(nèi)，知二面角A-CC₁-B為銳角，
∴二面角A-CC₁-B的大小為arccos

21

7

．
（3）設(shè)球心為O₁，因?yàn)镺是△ABC的外心，A₁O⊥平面ABC，
所以點(diǎn)O₁在A₁O上，則O₁是正三角形A₁AC的中心．
則球半徑R=

3

3

A₁A=

2 3

3

，球表面積S=4πR²=

16

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用空間向量證明線線垂直、求二面角以及求球的表面積，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是正確建立空間直角坐標(biāo)系然后將線線垂直、二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明向量垂直，法向量的夾角問(wèn)題，同時(shí)還要求計(jì)算一定要準(zhǔn)確！