Question

設函數f(x)＝x²－2－1(－3≤x≤3)．

（1）證明：f(x)是偶函數；

（2）指出函數f(x)的單調區間，并說明在各個單調區間上f(x)是增函數還是減函數；

（3）求函數的值域．

Answer 1

解析：（1）定義域為{ x│－3≤x≤3}，關于原點對稱．(1分)

因為f(－x)＝(－x)²－2－1＝x²－2－1＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，(2分)

所以f(x)是偶函數．(3分)

（2）當x≥0時，f(x)＝x²－2x－1＝(x－1)²－2，

當x＜0時，f(x)＝x²＋2x－1＝(x＋1)²－2．(4分)

所以f(x)＝(5分)

函數f(x)的單調區間為[－3，－1]，[－1，0，[0，1]，[1，3]．(6分)

f(x)在區間[－3，－1]，[0，1]上為減函數，在[－1，0，[1，3]上為增函數．(7分)

（3）當0≤x≤3時，函數f(x)＝(x－1)²－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2；(9分)

當－3≤x＜0時，函數f(x)＝(x＋1)²－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2．(11分)

故函數的值域為[－2，2]．(12分)