Question

設函數f(x)＝x²－1＋cosx(a>0)．

(1)當a＝1時，證明：函數y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數；

(2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是單調增函數，求正數a的范圍．

Answer 1

(1)略　(2)a≥1

解析　(1)證明：當a＝1時，f(x)＝x²－1＋cosx.

令g(x)＝f′(x)＝x－sinx，

g′(x)＝1－cosx≥0，∀x∈(0，＋∞)恒成立．

∴y＝g(x)在(0，＋∞)上是增函數．

∴g(x)>g(0)＝0.

∴f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)為增函數．

(2)f(x)＝x²－1＋cosx，

令h(x)＝f′(x)＝ax－sinx.

∵y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

∴ax－sinx>0恒成立．

當a≥1時，∀x∈(0，＋∞)，

恒有ax≥x>sinx，滿足條件．

當0<a<1時，h′(x)＝a－cosx.

令h′(x)＝0，得cosx＝a，在(0，)內存在x₀，使得cosx₀＝a.

當x∈(0，x₀)時，h′(x)<0.

∴h(x)<h(0)，即f′(x)<f′(0)＝0.

與 ∀x∈(0，＋∞)，f′(x)>0恒成立矛盾．∴a≥1.