Question

【題目】 (1)已知正數a，b滿足a＋b＝1，求證：a2＋b2≥；

(2)設a、b、c為△ABC的三條邊，求證：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

試題（1）利用配方將a2＋b2化為1－2ab，再根據基本不等式證不等式（2）根據三角形兩邊之和大于第三邊得a＋c>b，即得ab＋bc>b2，同理可得bc＋ca>c2 ，ab＋ca>a2，三式相加即得結論

試題解析：證明：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝1－＝.

(2)因為a，b，c是△ABC的三邊，不妨設a≥b≥c>0，則a>b－c≥0，b>a－c≥0，c>a－b≥0.平方得：

a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab，

三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab.

所以2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2，

即a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．