Question

如圖，某機場建在一個海灣的半島上，飛機跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60^o(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點B到海岸線的距離BC＝4km．D為海灣一側海岸線CT上的一點，設CD＝x(km)，點D對跑道AB的視角為q．
（1）將tanq表示為x的函數；
（2）求點D的位置，使q取得最大值．

Answer 1

（1）；（2）點距點6km.

試題分析：（1）由圖可知，因此為了求，可通過求和，，下面關鍵要求，為止作，垂足為，這時會發現隨的取值不同，點可能在線段上，也可能在線段外，可能為銳角也可能為鈍角，這里出現了分類討論，作交延長線于，由已知可求出，這就是分類的分界點；（2）由（1）求得，要求它的最大值，可以采取兩種方法，一種是由于分子是一次，分母是二次的，可把分子作為整體，分子分母同時除以（當然分母也已經化為的多項式了），再用基本不等式求解，也可用導數知識求得最大值.
（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F．
由題知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90^o－60^o＝30^o，
所以CE＝AF＝4.5×sin30^o＝，BF＝4.5×cos30^o＝，
AE＝CF＝BC＋BF＝．
因為CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝＝．
當x＞時，ED＝x－，tan∠ADC＝＝＝（如圖1）；

當0＜x＜時，ED＝－x，tan∠ADC＝－＝（如圖2）．            4分
所以tanq＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝
＝＝，其中x＞0且x≠．
當x＝時tanq＝＝，符合上式．
所以tanq＝( x＞0)                                      8分
（2）（方法一）tanq＝＝＝，x＞0．      11分
因為4(x＋4)＋－41≥2－41＝39，
當且僅當4(x＋4)＝，即x＝6時取等號．
所以當x＝6時，4(x＋4)＋－41取最小值39．
所以當x＝6時，tanq取最大值．                                      13分
由于y＝tanx在區間(0，）上是增函數，所以當x＝6時，q取最大值．
答：在海灣一側的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大  14分
（方法二）tanq＝f(x)＝＝．
f ¢(x)＝＝－，x＞0．
由f ¢(x)＝0得x＝6．                                                      11分
當x∈（0，6）時，f ¢(x)＞0，函數f(x)單調遞增；當x∈（6，＋∞）時，f ¢(x)＜0，此時函數f(x)單調遞減．
所以函數f(x)在x＝6時取得極大值，也是最大值f(6)＝．                    13分
由于y＝tanx在區間(0，）上是增函數，所以當x＝6時，q取最大值．
答：在海灣一側的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大．  14分