Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1 ， x2 ， 若x2＜f（x1）＜x1 ， 則關于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實根個數可能為（ ）
A.3，4，5
B.4，5，6
C.2，4，5
D.2，3，4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵函數f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1 ， x2 ， ∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得x1=﹣ + ，x2=﹣ ﹣ ，
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有兩解且f（x）=x1或x2
由x2＜f（x1）＜x1 ，
畫出如圖，由f（x1）＜x1 ，
可知方程f（x）=x1有3個根．
方程f（x）=x2有1個根，
則原方程共有4個根．
討論若x1=f（x2），即有f（x）=x1有2個根，
方程f（x）=x2有1個根，
則原方程共有3個根；
若x1＞f（x2），即有f（x）=x1有1個根，
方程f（x）=x2有1個根，
則原方程共有2個根．
即有原方程可能有2，3，4個根．
故選：D．

【考點精析】掌握函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．