Question

（2004•武漢模擬）（理科）若銳角α，β滿足tanα•tanβ=

13

7

，且sin(α-β)=

5

3

，求
（1）cos（α-β）； （2）cos（α+β）

Answer 1

分析：（1）由α，β為銳角，得到α-β的范圍，再根據sin（α-β）的值大于0，得到α-β為銳角，故利用同角三角函數間的基本關系即可求出cos（α-β）的值；
（2）分別利用兩角和與差的余弦函數公式化簡

cos(α+β)

cos(α-β)

后，分子分母同時除以cosαcosβ，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將tanαtanβ的值代入求出

cos(α+β)

cos(α-β)

的值，然后再由（1）得到的cos（α-β）的值，即可求出cos（α+β）的值．

解答：解：（1）∵α，β為銳角，則-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
而sin（α-β）=

5

3

＞0，則0＜α-β＜

π

2

，
∴cos（α-β）=

1-sin2(α-β)

=

2

3

；（6分）
（2）∵tanαtanβ=

13

7

，
∴

cos(α+β)

cos(α-β)

=

cosαcosβ-sinαsinβ

cosαcosβ+sinαsinβ

=

1-tanαtanβ

1+tanαtanβ

=

1- 13 7

1+ 13 7

=-

3

10

，
又cos（α-β）=

2

3

，
∴cos（α+β）=-

1

5

．（12分）

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的余弦函數公式，第二問先求出

cos(α+β)

cos(α-β)

的值，然后借助第一問求出的cos（α-β）的值，從而得到cos（α+β）的值，注意此方法的技巧性．