Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）D為橢圓C的右頂點，設A是橢圓上異于D的一動點，作AD的垂線交橢圓與點B，求證：直線AB過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題設條件可知

a+c=3 a-c=1

解得

a=2 c=1

，由此能夠推導出橢圓C的標準方程．
（2）設l：y=kx+m，由方程組

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后結合題設條件利用根的判別式和根與系數的關系求解．

解答：解：（1）由題意設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b²=3，
∴

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，3+4k²-m²＞0x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1•x2=

4(m2-3)

3+4k2

．y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵AD⊥BD，k_AD•k_BD=-1，（或

AD

•

BD

=0）
∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，7m²+16mk+4k²=0，
解得m1=-2k，m2=-

2k

7

，且滿足3+4k²-m²＞0
當m=-2k時，l：y=k（x-2），直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當m=-

2k

7

時，l：y=k(x-

2

7

)，直線過定點(

2

7

，0)．
綜上可知，直線AB過定點，定點坐標為(

2

7

，0)．

點評：本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，具有較大的難度，解題時要注意的靈活運用．