Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m
（1）m為何值時，直線與橢圓有公共點？
（2）求直線被橢圓截得的最長弦所在的直線方程，并求弦長的最大值．

Answer 1

分析：（1）將橢圓方程與直線方程聯立，消去y得到關于x的方程，由兩函數圖象有交點，得到根的判別式的值大于等于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍；
（2）設直線與橢圓的公共點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出|AB|，變形后利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，代入化簡，利用二次函數的性質求出|AB|最大值，以及此時m的值，即可確定出此時直線l的方程．

解答：解：（1）聯立得：

y=x+m 4x2+y2=1

，
消去y得：5x²+2mx+m²-1=0，
由△=-16m²+20≥0，得-

5

2

≤m≤

5

2

，
則m的范圍為[-

5

2

，

5

2

]；
（2）設直線與橢圓的公共點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

5

5-4m2

，
∵m∈[-

5

2

，

5

2

]，
∴當m=0時，|AB|_max=

2 10

5

，此時直線l：y=x．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由d與r大小來判斷，d＞r，直線與圓相離；d=r，直線與圓相切；d＜r，直線與圓相交（r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離）．