Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m．
（1）當m為何值時，直線與橢圓有公共點？
（2）若直線被橢圓截得的弦長為

2 10

5

，求直線的方程．

Answer 1

分析：（1）將直線的方程y=x+m與橢圓的方程4x²+y²=1聯立，得到5x²+2mx+m²-1=0，利用△=-16m²+20≥0即可求得m的取值范圍；
（2）利用兩點間的距離公式，再借助于韋達定理即可得到：兩交點AB之間的距離∴|AB|=

(x2-x1) 2+(y2-y1) 2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(- 2m 5 )2-4 m2-1 5 ]

=

2 10

5

，從而可求得m的值．

解答：解：（1）把直線y=x+m代入橢圓方程得：4x²+（x+m）²=1
即：5x²+2mx+m²-1=0，
△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0
解得：-

5

2

≤m≤

5

2

．
（2）設該直線與橢圓相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的兩根，由韋達定理可得：x1+x2=-

2m

5

，x1•x2=

m2-1

5

，
∴|AB|=

(x2-x1) 2+(y2-y1) 2

=

(x2-x1)2[1+( y2-y1 x2-x1 ) 2]

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(- 2m 5 )2-4 m2-1 5 ]

=

2 10

5

；
∴m=0．
∴直線的方程為y=x．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系與弦長問題，難點在于弦長公式的靈活應用，屬于中檔題．