Question

如圖，直線AB為圓O的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.

(1)證明：DB＝DC；

(2)設圓的半徑為1，BC＝，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)連接DE，則∠DCB＝∠DEB，

∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，

∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，

又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，

∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.

(2)由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，

∴，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分線，

設交點為H，則BH＝，∴OH＝＝，

∴DH＝，∴tan∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，

∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圓直徑．

∴△BCF的外接圓半徑為