Question

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點。

（1）若，求證：平面平面；

（2）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）在（2）的條件下，若平面平面ABCD，且，求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（3）60°.

【解析】（1）要證平面平面，只要證明AD⊥平面PQB，轉化為AD⊥PQ，AD⊥BQ；（2）時，證明平面；（3）向量法求解。

證明：（1）連BD，四邊形ABCD菱形，  ∵AD⊥AB，  ∠BAD=60°

△ABD為正三角形， Q為AD中點， ∴AD⊥BQ

∵PA=PD，Q為AD的中點，AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB， AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD；……………………4分

（2）當時，平面

下面證明，若平面，連交于

由可得，，

平面，平面，平面平面，

   即：   ；……………………8分

（3）由PA=PD=AD=2， Q為AD的中點，則PQ⊥AD。

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，

以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

設平面MQB的法向量為，可得

，解得

取平面ABCD的法向量

故二面角的大小為60°；……………………12分