Question

(本小題滿分14分)

如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（Ⅰ）當時，求證平面

（Ⅱ）當二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）在平行四邊形中，由，，，

易知，…………………2分

又平面，所以平面,

∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，

又，∴，

可得

．

∴，……………………6分

又∵，∴平面．………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知為二面角的平面角，

，此時為的中點． ……………9分

過作,連結,則平面平面,

作,則平面,連結,

可得為直線與平面所成的角．

因為,,

所以．……………12分

在中，

直線與平面所成角的正弦值大小為．……………………14分

解法二：依題意易知，平面ACD．以A為坐標原點，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標系，則易得……………2分，

（Ⅰ）由有，……………4分

易得，從而平面ACE．……………………7分

 (Ⅱ)由平面，二面角的平面角．

又，則 E為的中點，

即 ,………………9分

設平面的法向量為

則，令,得，…………11分

從而，…………13分

直線與平面所成角的正弦值大小為．……………………14分

【解析】