Question

已知函數，其圖象為曲線,點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線.
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）當點時，的方程為，求實數和的值；
（Ⅲ）設切線、的斜率分別為、，試問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）函數的單調遞增區間是和；單調遞減區間是；（2），；（3）.

試題分析：（1）將代入到函數中，求導，解出的的取值范圍，從而能夠寫出函數的單增區間和單減區間；（2）將切點代入到函數表達式中，求出的關系，再將代入到中，求出最終的值；（3）設，寫出函數在處的切線，并與曲線聯立，得到關于的方程，再設，根據韋達定理表示出，再利用，得出，化簡成，則能夠得到，進而能夠求出的值.
試題解析：（1）當時，
則，解得或；
，解得
∴函數的單調遞增區間是和；單調遞減區間是.
（Ⅱ）由題意得，即，
解得 
∴實數和的值分別是和. 
（Ⅲ）設，則，
聯立方程組
由②代入①整理得 
設，則由韋達定理得，∴
由題意得；
假設存在常數使得，則，
即,∴，解得
所以當時，存在常數使得；
當時，不存在，使得 .