Question

（2007•浦東新區一模）（1）A、B、C為斜三角形ABC的三個內角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命題：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，則A+B+C=π．判斷該命題的真假并說明理由．
（說明：試卷中的“tgA”在試點教材中記為“tanA”）

Answer 1

分析：（1）先根據C=π-（A+B）得到tgC=tg[π-（A+B）]=-tg（A+B）=-

tgA+tgB

1-tgAtgB

，再結合已知條件求出tgC=1即可求出角C；
（2）當tgAtgB≠1時，⇒tg（A+B）（1-tgAtgB）=tgC（tgAtgB-1）⇒tg（A+B）=-tgC⇒A+B=kπ-C⇒A+B+C=kπ，k可以等于2，與A+B+C=π相矛盾，即可說明其為假命題．

解答：解：（1）∵C=π-（A+B），
∴tgC=tg[π-（A+B）]=-tg（A+B）=-

tgA+tgB

1-tgAtgB

-------（4分），
由已知，tgA+tgB=tgAtgB-1
所以tgC=1，又因為C∈（0，π），
所以C=

π

4

-----------（6分）
（2）由tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，
當tgAtgB≠1時，⇒tg（A+B）（1-tgAtgB）=tgC（tgAtgB-1）-------（8分）
tg（A+B）=-tgC⇒A+B=kπ-C（k為整數）即A+B+C=kπ-------（10分）
因為A，B，C∈（0，π），可以取得A，B，C的值，使得A+B+C=2π，
命題為假-----------（12分）
若tgAtgB=1，則tgA+tgB+tgC=tgC，tgA+tgB=0，這種情況不可能----（14分）
所以，命題是假命題．（10分）

點評：本題主要考查兩角和與差的正切公式的使用，一般在用兩角和與差的正切公式時，可以直接用，也可以變形使用．