Question

（2007•浦東新區二模）記函數f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f₂（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）設函數f（x）=log₂（1-2^x），求f（x）的反函數f^-1（x），并判斷f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）=

ax

x+b

∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，求出f[f（x）]、g[g（x）]，即可得到結論；
（2）利用新定義，求出f[f（x）]=x，即可說明不論a為何值，f（x）都是集合M的元素；
（3）利用新定義，確定a，b的關系，進而可解不等式．

解答：（1）解：∵f[f（x）]=-（-x+1）+1=x，∴f（x）=-x+1∈M…（2分）
∵g[g（x）]=2（2x-1）-1=4x-3，∴g（x）=2x-1∉M…（4分）
（2）證明：f[f(x)]=log2(a-2log2(a-2x))=log(a-a+2x)=x
所以不論a為何值，f（x）都是集合M的元素       …（7分）
（3）解：∵f(x)=

ax

x+b

∈M，(a＜0)，∴f₂（x）=f[f（x）]=x對定義域內的一切x恒成立
∴

a• ax x+b

ax x+b +b

=x，解得（a+b）x²-（a²-b²）x=0對定義域內的一切x恒成立   …（9分）
∴a+b=0…（10分）
由f（x）＜1，得到

ax

x-a

-1＜0，∴

(a-1)x+a

x-a

＜0…（11分）
由a＜0，∴

x- a 1-a

x-a

＞0
又0＞

a

1-a

＞a…（12分）
∴x的取值范圍是x＞

a

1-a

或x＜a…（14分）

點評：本題考查新定義，考查不等式的解法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．