Question

【題目】如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E為BC中點．

(1)求證：C1D⊥D1E；

(2)在棱AA1上是否存在一點M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，說明理由；

(3)若二面角B1AED1的大小為90°，求AD的長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：(1)證明：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，

設AD＝a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，1，0)，B1(a，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E，∴＝(0，－1，－1)，＝，

∴C1D⊥D1E。

(2)設＝h，則M(a，0，h)，

∴＝(0，－1，h)，＝，＝(－a，0，1)，

設平面AD1E的法向量為n＝(x，y，z)，

∴平面AD1E的一個法向量為n＝(2，a，2a)，

∵BM∥平面AD1E，

∴⊥n，即·n＝2ah－a＝0，∴h＝。

即在AA1上存在點M，使得BM∥平面AD1E，此時＝。

(3)連接AB1，B1E，設平面B1AE的法向量為m＝(x′，y′，z′)，＝，＝(0，1，1)，

∴平面B1AE的一個法向量為m＝(2，a，－a)．

∵二面角B1AED1的大小為90°，

∴m⊥n，∴m·n＝4＋a2－2a2＝0，

∵a>0，∴a＝2，即AD＝2。