Question

如圖，第n（n∈N^*）個圖形是由正n+2邊形“擴展”而來，例如第一個圖形由正三邊形“擴展”而來，…，則前30個圖形中共有

11960

個頂點．

Answer 1

分析：根據題意，依次分析計算前幾個圖形中頂點的個數，可以歸納出第n個圖形中的頂點數目，結合數列知識，運用分組求和法，計算可得答案．

解答：解：根據題意，由已知中的圖形我們可以得到：
n=1時，即第一個圖形中頂點共有3×4=12個，
n=2時，即第二個圖形中頂點共有4×5=20個，
n=3時，即第三個圖形中頂點共有5×6=30個，
n=4時，即第四個圖形中頂點共有6×7=42個，
…
依此類推，第n個圖形共有頂點（n+2）（n+3）=n²+5n+6個，
設前30個圖形中共有頂點數目為S，則S=1²+2²+3²+…+30²+5×1+5×2+…+5×30+6×30=11960；
故答案為11960．

點評：本題考查歸納推理的運用，涉及數列求和的方法，關鍵是分析出每個圖形中頂點的個數．