Question

已知動圓M與⊙O₁：x²+（y-1）²=1和⊙O₂：x²+（y+1）²=4都外切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設動圓的半徑為r，然后根據動圓M與⊙O₁：x²+（y-1）²=1和⊙O₂：x²+（y+1）²=4都外切，得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，兩式相減消去參數r，則滿足雙曲線的定義，問題解決．

解答： 解：設動圓的半徑為r，
而圓x²+（y-1）²=1的圓心為O₁（0，1），半徑為1；
圓x²+（y+1）²=4的圓心為O₂（0，-1），半徑為2．
依題意得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，
則|MO₂|-|MO₁|=（2+r）-（1+r）=1＜|O₁O₂|，
所以點M的軌跡是以O₁、O₂為焦點的雙曲線的上支，且2a=1，c=1，
∴a=

1

2

，b=

3

2

，
∴動圓圓心M的軌跡方程是

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（y≥

1

2

）．

點評：本題以兩圓的位置關系為載體，考查雙曲線的定義，考查軌跡方程，確定軌跡是雙曲線是關鍵．