Question

如圖，在三棱柱中，△是邊長為的等邊三角形，平面，，分別是，的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動點，當與平面所成最大角的正切值為時，求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

(1)對于線面的平行的證明，關鍵是證明∥. （2）

試題分析：（1）證明：取的中點，連接、. 
∵為的中點，
∴∥，且.       1分
∵∥，且，∴∥，.        2分
∴四邊形是平行四邊形.  ∴∥.          3分
∵平面，平面，∴∥平面.       4分
（2）解：∵平面，平面， ∴.
∵△是邊長為的等邊三角形，是的中點，∴，.
∵平面，平面，，∴平面.
∴為與平面所成的角.   
∵，在Rt△中，，
∴當最短時，的值最大，則最大.   
∴當時，最大. 此時，
.∴.
在Rt△中，.
∵Rt△～Rt△，
∴，即.∴.           8分
以為原點，與垂直的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.

則，，，.
∴，，.設平面的法向量為，由，，令，則.
∴平面的一個法向量為.       10分
∵平面， ∴是平面的一個法向量.
∴.                     11分
∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.     12分
點評：主要是考查了二面角的平面角的求解，以及線面平行的判定，屬于基礎題。