【題目】設函數
．
（1）討論
的單調性；
（2）證明：當
時，
．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
（1）先求函數定義域，由導數大于0，得增區間；導數小于0，得減區間；
（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的單調性可得lnx＜x﹣1；設F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出單調性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；
（1）由題設，
的定義域為
，
，令
，解得
．
當
時，
，單調遞增；
當
時，
，單調遞減．
（2）證明：當x∈（1，+∞）時，
，即為lnx＜x﹣1＜xlnx．
由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）遞減，
可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；
設F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，
當x＞1時，F′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）＝0，
即有xlnx＞x﹣1，則原不等式成立；
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中， 
， 
， 
， 
是
中點（如圖1）.將
沿
折起到圖2中
的位置，得到四棱錐
.
（1）將
沿
折起的過程中， 
平面
是否成立？并證明你的結論；
（2）若
與平面
所成的角為60°，且
為銳角三角形，求平面
和平面
所成角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且過點
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程．
（Ⅱ）若
， 
是橢圓
上兩個不同的動點，且使
的角平分線垂直于
軸，試判斷直線
的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】按要求寫出下列命題，并判斷真假：
（1）命題：“在
中，若
則
”的逆命題；
（2）命題：“若兩個數的和為有理數，則這兩個數都是有理數。”的否命題；
（3）命題：“若a≠0且b≠0,則ab≠0”的逆否命題；
（4）命題：“a=0或b=0,則a2+b2=0”的逆否命題；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查某社區年輕人的周末生活狀況，研究這一社區年輕人在周末的休閑方式與性別的關系，隨機調查了該社區年輕人80人，得到下面的數據表：
（1）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查3名在該社區的年輕男性，設調查的3人在這一時間段以上網為休閑方式的人數為隨機變量X,求X的分布列和數學期望；
（2）根據以上數據，能否有99%的把握認為“周末年輕人的休閑方式與性別有關系”？
參考公式：
參考數據：
| 0.05 | 0.010 |
| 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（ ）
A. 天氣預報說明天下雨的概率為
，則明天一定會下雨
B. 不可能事件不是確定事件
C. 統計中用相關系數
來衡量兩個變量的線性關系的強弱，若
則兩個變量正相關很強
D. 某種彩票的中獎率是
，則買1000張這種彩票一定能中獎
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程為
（
， 
為參數）.以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）當
時，求曲線
上的點到直線
的距離的最大值；
（2）若曲線
上的所有點都在直線
的下方，求實數
的取值范圍.
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