Question

已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA=AD，M、N分別是AB、PC的中點，求證：

(1)MN∥平面PAD；

(2)平面PMC⊥平面PDC．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)取PD的中點為Q，連結(jié)AQ、QN， ∵PN=NC，∴QNDC． ∵四邊形ABCD為矩形，∴QNAM． ∴MN∥AQ．又∵AQ平面PAD， ∴MN∥平面PAD． (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PAD=90°．∵PA=AD， ∴△PAD為等腰直角三角形． ∵Q為PD中點，∴AQ⊥PD． ∵CD⊥AD，CD⊥PA， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ， ∴AQ⊥平面PDC． 由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC． 又∵M(jìn)N平面PMC， ∴平面PMC⊥平面PDC． 點評：抓住N是Pc的中點的特點，取PD的中點Q，從而得到輔助線AQ．利用AQ既證明了MN∥平面PAD又證明了平面PMC⊥平面PDC．