Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上是減函數，求實數的最小值；

（2）若存在，，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出函數的導數，結合二次函數的性質求出導函數的最大值，從而求出的范圍即可； （2）問題等價于當時，有，通過討論的范圍，得到函數的單調區間，從而求出的具體范圍即可．

解：已知函數的定義域為.

(1)因為在上為減函數，故在上恒成立，即當時，.

又，

故當，即時，.

所以，于是，故的最小值為.

(2)命題“若存在，使成立”等價于“當時，有”.

由(1)知，當時，，所以.

故問題等價于：“當時，有”

①當時，由(2)知，在上為減函數，

則，故.

②當，時，，由(1)知，函數在上是減函數，，所以，與矛盾，不合題意.

綜上，得實數的取值范圍.