Question

如圖，已知斜三棱柱（側棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，BC=2，AC=2，AB=2，AA₁=A₁C=．
（Ⅰ） 求側棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的長度．
（Ⅱ） 設AC的中點為D，證明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅲ） 求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵ABC-A₁B₁C₁是斜三棱柱，∴B₁B∥平面A₁ACC₁，
故側棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的長度等于側棱B₁B的長度．（2分）
又BB₁=AA₁=，故側棱B₁B在平面A₁ACC₁的正投影的長度等于．（3分）
（Ⅱ）證明：∵AC=2，AA₁=A₁C=，∴AC²=AA₁²+AC₁²，
∴△AA₁C是等腰直角三角形，（5分）
又D是斜邊AC的中點，∴A₁D⊥AC（6分）
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁D⊥底面ABC（7分）
（Ⅲ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，
∵A₁D⊥面ABC，AB?面ABC，∴A₁D⊥AB，
∵A₁D∩DE=D，∴AB⊥平面A₁ED，（8分）
從而有A₁E⊥AB，∴∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角． （9分）
∵BC=2，AC=2，AB=2，∴AC²=BC²+AB²，
∴△ABC是直角三角形，AB⊥BC
∴ED∥BC，
又D是AC的中點，BC=2，AC=2，∴DE=1，A₁D=AD=，
∴A₁E==2
∴cos∠A₁ED==，即側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的余弦值為．（14分）
分析：（Ⅰ）由B₁B∥平面A₁ACC₁，可得側棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的長度等于側棱B₁B的長度；
（Ⅱ）利用平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可證A₁D⊥底面ABC；
（Ⅲ）要求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小，利用三垂線定理作出角，即作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．所以∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角，求解即可．
點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．