Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D為BC的中點．
（1）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，求證：AD⊥DC₁；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（1）由D為等腰三角形底邊BC的中點，利用等腰三角形的性質可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性質即可證出．
（2）證法一：連接A₁C，交AC₁于點O，再連接OD，利用三角形的中位線定理，即可證得A₁B∥OD，進而再利用線面平行的判定定理證得．
證法二：取B₁C₁的中點D₁，連接A₁D₁，DD₁，D₁B，可得四邊形BDC₁D₁及D₁A_1AD是平行四邊形．進而可得平面A₁BD₁∥平面ADC₁．再利用線面平行的判定定理即可證得結論．

解答：（本小題滿分14分）
證明：（1）因為AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC．       
因為平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BCC₁B₁．                                  …（5分）
因為DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥DC₁．                   …（7分）
（2）（證法一） 
連接A₁C，交AC₁于點O，連接OD，則O為A₁C的中點．
因為D為BC的中點，所以OD∥A₁B．                     …（11分）
因為OD?平面ADC₁，A₁B∉平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．                                 …（14分）
（證法二） 
取B₁C₁的中點D₁，連接A₁D₁，DD₁，D₁B．則D₁C₁

∥

.

BD．
所以四邊形BDC₁D₁是平行四邊形．所以D₁B∥C₁D．
因為C₁D?平面ADC₁，D₁B?平面ADC₁，
所以D₁B∥平面ADC₁．
同理可證A₁D₁∥平面ADC₁．
因為A₁D_1?平面A₁BD₁，D₁B?平面A₁BD₁，A₁D₁∩D₁B=D₁，
所以平面A₁BD₁∥平面ADC₁．                          …（11分）
因為A₁B?平面A₁BD₁，所以A₁B∥平面ADC₁．           …（14分）

點評：本題考查了線面垂直和線面平行，充分理解其判定定理和性質定理是解決問題的關鍵．遇到中點添加輔助線常想到三角形的中位線或平行四邊形．