Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形.已知，，.

（1）設是上的一點，證明：平面平面；

（2）當點位于線段什么位置時，平面？

（3）求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點位于線段靠近點的三等分點處時；（3）24.

【解析】

試題分析：（1）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發給予證明，而線面垂直的證明，往往需要多次利用線面垂直判定與性質定理：本題先根據平幾知識得到線線垂直，再結合面面垂直條件，轉化為線面垂直（2）分析思路先根據線面平行性質定理，轉化為線線平行，再根據線線平行轉化為對應線段成比例，得到M點位置.最后證明逆推：即由從線線平行證線面平行（3）求三棱錐體積，關鍵在于確定高，即明確線面垂直，再根據體積公式計算，本題可根據面面垂直得線面垂直，即高線.

試題解析：（1）證明：在中，

∵，，，∴.

∴.

又平面平面，

平面平面，平面，

∴平面.

又平面，∴平面平面.

（2）當點位于線段靠近點的三等分點處時，

平面.

證明如下：連接，交于點，連接.

∵，∴四邊形是梯形.

∵，

∴，

又∵，∴，∴.

∵平面，平面，∴平面.

（3）過點作交于,

∵平面平面，∴平面.

即為四棱錐的高，

又是邊長為4的等邊三角形，∴.

在中，斜邊上的高為，此即為梯形的高.

梯形的面積.

四棱錐的體積.