Question

（2013•東城區二模）如圖，△BCD是等邊三角形，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分別是BD，BC，AB的中點，將△BCD沿BD折疊到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（1）求證：平面GNM∥平面ADC′；
（2）求證：C′A⊥平面ABD．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理，證明MN∥平面ADC′，NG∥平面ADC，再利用面面平行的判定定理證明平面GNM∥平面ADC′；
（2）利用AD⊥平面C′AB，證明AD⊥C′A，利用勾股定理的逆定理，證明AB⊥C′A，再利用線面垂直的判定定理證明C′A⊥平面ABD．

解答：證明：（1）因為M，N分別是BD，BC′的中點，
所以MN∥DC′．
因為MN?平面ADC′，DC′?平面ADC′，
所以MN∥平面ADC′．
同理NG∥平面ADC′．
又因為MN∩NG=N，
所以平面GNM∥平面ADC′．
（2）因為∠BAD=90°，所以AD⊥AB．
又因為AD⊥C′B，且AB∩C′B=B，
所以AD⊥平面C′AB．
因為C′A?平面C′AB，所以AD⊥C′A．
因為△BCD是等邊三角形，AB=AD，
不防設AB=1，則 BC=CD=BD=

2

，可得C′A=1．
由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A．
因為AB∩AD=A，所以C′A⊥平面ABD．           …（14分）

點評：本題考查面面平行，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，正確運用面面平行、線面垂直的判定定理是關鍵．