Question

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數φ（x）組成的集合：
①對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2） ；
②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，
（Ⅰ）設，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么這樣的x₀是唯一的；
（Ⅲ）設φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=φ（2x_n），n=1，2，…，證明：給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式。

Answer 1

證明：（Ⅰ）對任意，
，
所以，
對任意的，
，
，
所以，
令，
，
所以。
（Ⅱ）反證法：設存在兩個使得，
則由，
所以L≥1，矛盾，故結論成立。
（Ⅲ），
所以，


。