Question

20.

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數（x）組成的集合：①對任意的都有(2x);②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x₁,x₂[1，2]，都有|（2x₁）- (2 x₂)|.

（Ⅰ）設（x）=證明：（x）A:

（Ⅱ）設（x），如果存在x₀(1,2),使得x₀=（2x₀）,那么這樣的x₀是唯一的：

（Ⅲ）設任取x₁(1,2),令x_n+1=（2x_n）,n=1,2……證明：給定正整數k，對任意的正整數p,成立不等式。

Answer 1

解（Ⅰ）由題設，對任意

       ∵

       又∵對任意的

    

 

而

∴

令，顯然存在常數L(0＜L＜1),

使得

綜上所述，可知

（Ⅱ）（運用反證法證明）

     設存在兩個實數。

     因為則由

∴L≥1，這與題設矛盾，從而所證命題結論成立。

（Ⅲ）因為

∴

            （其中0＜L＜1）

∴

                  

                  

 

故∴對于給定正整數k，對任意的正整數p不等式均成立