Question

已知函數f(x)＝cos 2x＋2sin x·sin.
(1)求f(x)的最小正周期，最大值以及取得最大值時x的集合；
(2)若A是銳角三角形△ABC的內角，f(A)＝0，b＝5，a＝7，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）π，2，；（2）10.

試題分析：（1）將函數f(x)展開，由倍角公式及誘導公式化簡為f(x)＝2sin，即可得f(x)的最小正周期，最大值.令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，可得取得最大值時x的集合為；
（2）先由f(A)＝sin＝0及銳角A的范圍得A＝，再由b＝5，a＝7根據余弦定理得c＝8，最后由三角形面積公式S_△ABC＝bc·sin A得到△ABC的面積為10.
試題解析：(1)f(x)＝cos 2x＋2sin x·sin＝cos 2x＋2sin x·cos x
＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，    3分
∴f(x)的最小正周期是π.     4分
令2x＋＝＋2kπ，k∈Z.解得：x＝＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的最大值是2，取得最大值時x的集合是.    6分
(2)∵f(A)＝sin＝0,0＜A＜，∴A＝，    8分
在△ABC中，a²＝b²＋c²－2bc·cos A，c²－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍)，    10分
∴S_△ABC＝bc·sin A＝10.    12分