Question

在空間四邊形ABCD中，M，N，P，Q分別是四邊上的點，滿足

AM

MB

=

CN

NB

=

AQ

QD

=

CP

PD

=k．求證：M，N，P，Q共面．

Answer 1

分析：根據(jù)對應(yīng)邊成比例證明MQ∥BD，同理證出NP∥BD，則由平行的傳遞性證出MQ∥NP，根據(jù)兩條平行線確定一個平面，證出四點共面．

解答：證明：∵

AM

MB

=

AQ

QD

=k，
∴MQ∥BD且MQ=

k

1+k

•BD；
由

CN

NB

=

CP

PD

=k，同理可得NP∥BD，
且NP=

k

1+k

•BD．
于是MQ∥NP，因此M，N，P，Q四點共面．

點評：本題考查了點共面的證明方法，即可由比例關(guān)系證明線線平行，再由“兩條平行線確定一個平面”證出點共面，即根據(jù)公理2以及推論證明線共面再證出點共線．