Question

（本小題滿分14分）對于函數，若存在，使成立，則稱為的不動點。如果函數有且僅有兩個不動點、，且
。
（1）試求函數的單調區間；
（2）已知各項均為負的數列滿足，求證：；
（3）設，為數列的前項和，求證：。

Answer 1

（1）設
    ∴    ∴
由
又∵   ∴    ∴   …… 3分 
于是
由得或；  由得或
故函數的單調遞增區間為和，
單調減區間為和                      ……4分
（2）由已知可得，    當時，
兩式相減得
∴或
當時，，若，則這與矛盾
∴    ∴                      ……6分
于是，待證不等式即為。為此，我們考慮證明不等式
令則，
再令，    由知
∴當時，單調遞增   ∴  于是
即   　　　①
令，   由知
∴當時，單調遞增   ∴  于是
即　　　　②
由①、②可知                 ……10分
所以，，即        ……11分
（3）由（2）可知  則
在中令n=1,2,3…………..2010并將各式相加得

即    

解析