Question

已知= (x∈R)在［-1,1］上是增函數.

       (1)求實數a的值所組成的集合A;

       (2)設關于x的方程=的兩根為x₁、x₂,試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及?t∈?［-1,1］恒成立？若存在，求出m的范圍;若不存在，請說明理由.

      

Answer 1

解析：(1)f′(x)=,?

       ∵在［-1,1］上是增函數，∴≥0對x∈［-1,1］恒成立，即x²-ax-2≤0.對x∈［-1,1］恒成立.?

       設φ(x)=x²-ax-2,.?

       ∵對x∈［-1,1］，是連續函數，且當a=1時，f′(-1)=0以及當a=-1時f′(1)=0.  ∴A={a|-1≤a≤1}.?

       (2)由=,得x²-ax-2=0.?

       ∵Δ=a²+8>0,∴x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的兩實根.?

       ∴

       從而|x₁-x₂|=.?

       ∵-1≤a≤1,∴|x₁-x₂|=≤3.?

       要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立.?

       當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈［-1,1］恒成立，即m²+tm-2≥0對任意t∈［-1,1］恒成立.?

       設g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2),?

       .?

       所以存在實數m使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立，其取值范圍是{m|m≥2或m≤-2}.