Question

【題目】已知C是以AB為直徑的圓周上一點，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若異面直線PB與AC所成的為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的性質定理可知.再由以及線面垂直的判斷定理，可知平面，即可證明.

（2）解法1，建立空間直角坐標系，令，確定點坐標，令，由題意可知，即，再求平面的法向量為與平面的法向量為，求解即可.解法2：過作的平行線交圓于，連接，，所以直線與所成的角，即為與所成的角，，再過作交于，過作交于，連接，由三垂線定理知，所以即為二面角的平面角，求解邊長即可.

（1）證明：因為為圓的直徑，所以，

又平面，而平面，所以，

又,平面，平面

所以平面，

而平面，所以平面平面；

（2）解法1：建系如圖所示

令，而，則，.

則，令

所以，.

因為異面直線與所成的角為

故，解得.

令平面的一個法向量為

而

由，，所以

由，，所以，即

而平面的一個法向量為

所以.

所以二面角的余弦值為

解法2：過作的平行線交圓于，連接，

所以直線與所成的角，即為與所成的角.

因為為圓的直徑，所以

又平面，而平面，所以.

又,所以平面

而平面，所以，則.

令，且所以，

，

,

過作交于，過作交于,連接，由三垂線定理知.

所以即為二面角的平面角.

，

即 .

即為二面角的余弦值為.