Question

對實數a和b，定義運算“?”：a?b=

a，a-b≤1 b，a-b＞1

，設函數f（x）=（x²-2）?（x-x²），x∈R，若函數y=f（x）+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是

(

3

4

，1)∪[2，+∞)

．

Answer 1

分析：根據定義的運算法則化簡函數f（x）=（x²-2）?（x-x²）的解析式，并求出f（x）的取值范圍，函數y=f（x）+c的圖象與x軸恰有兩個公共點轉化為y=f（x），y=-c圖象的交點問題，結合圖象求得實數c的取值范圍．

解答：解：∵a?b=

a，a-b≤1 b，a-b＞1.

，
∴函數f（x）=（x²-2）?（x-x²）=

x2-2，-1≤x≤ 3 2 x-x2，x＜-1或x＞ 3 2

，
由圖可知，當-c∈(-∞，-2]∪(-1，-

3

4

)，
即c∈(

3

4

，1)∪[2，+∞)
函數f（x） 與y=-c的圖象有兩個公共點，
∴c的取值范圍是 (

3

4

，1)∪[2，+∞)，
故答案為：(

3

4

，1)∪[2，+∞)．

點評：本小題主要考查函數的零點與方程根的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．