Question

【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓的方程；

（3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，

求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），證明見解析．

【解析】

試題（1）先通過離心率求出，再通過，然后寫出橢圓方程；（2）先設出點的坐標，由于點在橢圓上，所以，找到向量坐標，根據點乘列出表達式，配方法找到表達式的最小值，得到點坐標，點在圓上，代入得到圓的半徑，就可以得到圓的方程；（3）設出點的坐標，列出直線的方程，因為直線與軸有交點，所以令，得到，所以，又因為點在橢圓上，得到方程，代入中，得到，所以.

試題解析：（1）依題意，得，，∴；

故橢圓的方程為． 3分

（2）方法一：點與點關于軸對稱，設，， 不妨設．

由于點在橢圓上，所以． （*） 4分

由已知，則，，

所以

． 6分

由于，故當時，取得最小值為．

由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為：． 8分

方法二：點與點關于軸對稱，故設，

不妨設，由已知，則

． 6分

故當時，取得最小值為，此時，

又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為：． 8分

(3) 方法一：設，則直線的方程為：，

令，得， 同理：， 10分

故（**） 11分

又點與點在橢圓上，故，， 12分

代入（**）式，得：．

所以為定值． 14分

方法二：設，不妨設，，

其中．則直線的方程為：，

令，得，

同理：， 12分

故．

所以為定值． 14分