Question

橢圓C：，雙曲線兩漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又設l與l₂交于點P，l與C兩交點自上而下依次為A、B；
（1）當l₁與l₂夾角為，雙曲線焦距為4時，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若=λ，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由l₁與l₂夾角為，雙曲線焦距為4時列出關于a，b，c的方程，再結合a，b，c之間的關系，求出a，b，c，即可求橢圓C的方程及其離心率；
（2）先聯立l與l₂求出點P的坐標，再根據=λ，求出點A的坐標；由點A在橢圓上，即可得到關于λ與e之間的等量關系，最后結合e的取值范圍以及函數求最值的方法即可求λ的最小值．
解答：解：（1）由l₁與l₂夾角為知，=tan=…（1分）
又焦距為4∴a=，b=1 
∴橢圓C：=1，
e==．…（3分）
（2）不妨設，  則l：y=-
聯立：⇒P（）
 由得，
又點A橢圓上，∴
    整理得λ²=…（7分）
∴λ²==（e²-2）++3
∵0＜e＜1∴-2＜e²-2＜-1   
∴-3＜（e²-2）+≤-2
∴0＜λ²≤3-2．
 由題知，λ＜0∴1-≤λ＜0 …（9分）
所以，λ的最小值為1-．…（10分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．第二問涉及到用基本不等式求函數的值域，在用基本不等式求函數的值域時，要注意其適用的三個限制條件：①均為正數，②積（或）和為定值，③等號成立時變量有意義．
所以在第二問用基本不等式求函數的值域時，須注意把其轉化為正數再求解．