Question

（2013•嘉興一模）已知雙曲線c：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)，以右焦點(diǎn)F為圓心，|OF|為半徑的圓交雙曲線兩漸近線于點(diǎn)M、N （異于原點(diǎn)O），若|MN|=2

3

a，則雙曲線C的離心率 是（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  3

  +1

Answer 1

分析：連接NF，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)B，根據(jù)雙曲線漸近線方程結(jié)合圖形的對(duì)稱性，求出N（

3 a2

b

，

3

a），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理可得c=2a，由此即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：連接NF，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)B
∵⊙F中，M、N關(guān)于OF對(duì)稱，
∴∠NBF=90°且|BN|=

1

2

|MN|=

1

2

×2

3

a=

3

a，
設(shè)N（m，

3

a），可得

3

a=

b

a

m，得m=

3 a2

b

Rt△BNF中，|BF|=c-m=

bc- 3 a2

b

∴由|BF|²+|BN|²=|NF|²，得（

bc- 3 a2

b

）²+（

3

a）²=c²
化簡(jiǎn)整理，得b=

3

2

c，可得a=

1

2

c，故雙曲線C的離心率e=

c

a

=2
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線右焦點(diǎn)F為圓心的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，在已知圓F被兩條漸近線截得弦長(zhǎng)的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．