Question

當a＞0時，設命題P：函數f(x)=x+

a

x

在區間（1，2）上單調遞增；命題Q：不等式x²+ax+1＞0對任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命題，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、0＜a≤1
• B、1≤a＜2
• C、0≤a≤2
• D、0＜a＜1或a≥2

Answer 1

分析：題中條件：““P且Q”是真命題”，說明P且Q都是真，分別利用導數f′（x）≥0在區間（1，2）上恒成立求出P是真，求出a的取值范圍；Q是真時利用二次方程的根的判別式，求出a的取值范圍．最后求出交集即得．

解答：解：∵函數f(x)=x+

a

x

在區間（1，2）上單調遞增；
∴f′（x）≥0在區間（1，2）上恒成立，
∴1-

a

x2

≥0在區間（1，2）上恒成立，
即a≤x²在區間（1，2）上恒成立，
∴a≤1．且a＞0…①
又不等式x²+ax+1＞0對任意x∈R都成立，
∴△=a²-4＜0，
∴-2＜a＜2…②
若“P且Q”是真命題，
則P且Q都是真命題，故由①②的交集得：0＜a≤1，
則實數a的取值范圍是0＜a≤1．
故選A．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、邏輯連接詞“且”的應用、不等式的恒成立等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．不含邏輯連接詞的命題，叫做簡單命題．兩個簡單命題通過“或”、“且”連接或在一個命題前加“非”組成新的命題，叫做復合命題．