Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，的中點為.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）在棱上存在點，使得平面，且.

【解析】

（Ⅰ）可證明平面，從而得到.

（Ⅱ）利用，，兩兩互相垂直建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面的法向量平面的法向量后可求二面角的余弦值．

（Ⅲ）設，則可用表示，利用與平面的法向量垂直可求，從而得到的值.

證明：（Ⅰ）因為平面，平面，所以.

因為，所以.

又因為，

所以平面.

因為平面，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，兩兩互相垂直，

如圖，建立空間直角坐標系．

因為，

所以，，，.

因為平面，

所以即為平面的一個法向量.

設平面的一個法向量為，

，，

則 即

令，則.

于是.

所以.

由題知二面角為銳角，所以其余弦值為.

（Ⅲ）假設棱上存在點，使得平面.

由，得.

因為，為的中點，所以.

所以.

若平面，則，解得.

又因為平面.

所以在棱上存在點，使得平面，且.