設函數
的定義域為（0，
）.
(Ⅰ)求函數
在
上的最小值；
(Ⅱ)設函數
，如果
，且
，證明：
.
（Ⅰ）
（Ⅱ）詳見解析.
解析試題分析：(Ⅰ) 利用導數分析單調性，進而求最值；(Ⅱ)分類討論函數的單調性
試題解析：(Ⅰ)
，則
時，
；
時，
。
所以，函數在（0，1）上是減函數，在（1，+
）上是增函數. 2分
當
時，函數在[m，m+1]上是增函數,
此時
；
當
時，函數在[m， 1]上是減函數,在[1，m+1]上是增函數，
此時
； 6分
(Ⅱ)證明：考察函數
，
所以g(x)在(
)內是增函數，在(
)內是減函數.（結論1）
考察函數F(x)=g(x)-g(2-x)，即
于是
當x>1時，2x-2>0,從而
(x)>0,
從而函數F（x）在[1,+∞)是增函數。
又F(1)=
F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （結論2） 10分
若
，由結論1及，得
，與矛盾；
若
，由結論1及，得
，與矛盾； 12分
若
不妨設
由結論2可知，g(
)>g(2-)，所以
>g(2-)。
因為
，所以
，又由結論1可知函數g(x)在區間（-∞，1）內是增函數，
所以
>
,即
>2. 15分
考點：導數，函數的單調性，分類討論.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
預計某地區明年從年初開始的前
個月內，對某種商品的需求總量
（萬件）近似滿足：
N*，且
）
（1）寫出明年第個月的需求量
（萬件）與月份 的函數關系式，并求出哪個月份的需求量超過
萬件；
（2）如果將該商品每月都投放到該地區
萬件（不包含積壓商品），要保證每月都滿足供應， 應至少為多少萬件？（積壓商品轉入下月繼續銷售）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數，e＝2.718…，且函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
(1)求常數a的值；(2)若存在x使不等式
>
成立，求實數m的取值范圍；
(3)對于函數y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數在x0處的偏差．求證：函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）是否存在點
，使得函數
的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數的圖像上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（2）定義
，其中
，求
；
（3）在（2）的條件下，令
，若不等式
對
且
恒成立，求實數
的取值范圍.
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，
為正常數．
，且
，求函數
的單調增區間；
，且對任意
都有
，求
．
時，求函數
的單調區間；
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
（
，e是自然對數的底數）.
有極小值
．
的值；
，且
對任意
恒成立，求
的最大值為.
在
處取得極值。
；
，使得對任意
？若存在，求
．
時，對任意
R，存在
R，使
，求實數
的取值范圍；
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍．