Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點，現以AE為折痕將△DAE向上折起，D變為D'，使得平面D'AE⊥平面ABCE．

（1）求證：平面ABD'⊥平面BD'E；

（2）求直線CE與平面BCD'所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）證明AE⊥BE，BE⊥AD'，結合D′E⊥AD′，推出AD′⊥面BD′E，然后明面ABD′⊥面BD′E．

（2）建立空間直角坐標系，求出平面BCD′的法向量，利用空間向量的數量積求解直線CE與平面BCD'所成角的正弦值即可．

（1）證明：AE＝BE，AB＝4，

∴AB2＝AE2+BE2，∴AE⊥BE，

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交線為AE，

∴BE⊥平面D'AE，又平面，∴BE⊥AD'，

又D′E⊥AD′，AE∩D′E＝E，∴AD′⊥面BD′E，∵AD′面ABD′，

∴面ABD′⊥面BD′E．

（2）解：取中點為，連接，因為，則，又平面D′AE⊥平面ABCE，且交線為AE，所以平面ABCE，

如圖建立空間直角坐標系，

則A(4，2，0)、C(0，0，0)、B(0，2，0)、，E(2，0，0)，

從而（2，0，0），，．

設為平面BCD′的法向量，

則，取，則，，所以．

，

故直線CE與平面所成角的正弦值為．