Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)是“類周期函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)，是否是“類周期函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；

(2)求證：若函數(shù)是“類周期函數(shù)”，且是偶函數(shù)，則是周期函數(shù)；

(3)求證：當時，函數(shù)一定是“類周期函數(shù)”.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)不是“類周期函數(shù)”， 是“類周期函數(shù)”，證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）利用反證法可證斷函數(shù)不是“類周期函數(shù)”，當時，利用定義可證是“類周期函數(shù)”；

（2）根據(jù)，，，可推出，結(jié)論得證；

（3）由，即，也就是存在非零實根，可證得結(jié)論正確.

（1）函數(shù)不是“類周期函數(shù)”， 是“類周期函數(shù)”，

證明：假設(shè)函數(shù)是“類周期函數(shù)”，

則，即對任意的成立，

令得，所以，這與相矛盾，故假設(shè)不成立，

所以函數(shù)不是“類周期函數(shù)”；

因為時， ，根據(jù)定義可知是“類周期函數(shù)”.

（2）因為函數(shù)是“類周期函數(shù)”，

所以存在常數(shù)，使得對任意的成立，

所以，

又為偶函數(shù)，所以，

所以 ，

因為，所以，

又為偶函數(shù)，所以，

所以，

所以，

因為，所以是周期為的周期函數(shù).

（3）當時，假設(shè)函數(shù)是“類周期函數(shù)”，

則存在常數(shù)，使得對任意的成立，

即存在常數(shù)，使得對任意的成立，

所以，此方程有非零實數(shù)解，

故當時，函數(shù)一定是“類周期函數(shù)”.