Question

若函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象和直線y=x無交點，給出下列結論：
①方程f[f（x）]=x一定沒有實數根；
②若a＜0，則必存在實數x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
③若a+b+c=O，則不等式f[f（x）]＜x對一切實數x都成立；
④函數g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點．
其中正確的結論個數有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．進而逐一由此判斷題設中的四個命題的真假即可得到答案．

解答：解：因為函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因為f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x沒有實數根；
故①正確；
若a＜0，則不等式f[f（x）]＜x對一切實數x都成立，所以不存在x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
故②錯誤；
若a+b+c=0，則f（1）=0＜1，可得a＜0，因此不等式f[f（x）]＜x對一切實數x都成立；
故③正確；
易見函數g（x）=f（-x），與f（x）的圖象關于y軸對稱，所以g（x）和直線y=-x也一定沒有交點．
故④正確；
故選C．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中根據已知得到f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立是解答本題的關鍵．