Question

當直線l：y=k（x-1）+2被圓C：（x-2）²+（y-1）²=5截得的弦最短時，則k=

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：先求出圓心到直線l的距離為d，設弦長為L，則（

L

2

）²+d²=r²，再根據L的解析式，利用基本不等式求得L的最小值．

解答： 解：圓C：（x-2）²+（y-1）²=5的圓心（2，1），半徑為

5

，
設圓心到直線l的距離為d，則 d=

|2k-1-k+2|

k2+(-1)2

=

|k+1|

k2+1

，
又設弦長為L，則（

L

2

）²+d²=r²，即  （

L

2

）²=5-

(k+1)2

k2+1

=5-（1+

2k

k2+1

）=4-

2k

k2+1

≥3．
∴當k=1時，（

L

2

）²_min=3，
∴直線l：y=k（x-1）+2被圓C：（x-2）²+（y-1）²=5截得的弦最短時，則k=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．