Question

【題目】在三棱柱 中， 平面 ，其垂足 落在直線 上.

（1）求證： ；

（2）若 為 的中點，求三棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）

【解析】

（Ⅰ）欲證BC⊥A1B，可尋找線面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1平面A1AB，AD平面A1AB，A1A∩AD=A，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，問題得證；（Ⅱ）根據直三棱柱的性質可知A1A⊥面BPC，求三棱錐P﹣A1BC的體積可轉化成求三棱錐A1﹣PBC的體積，先求出三角形PBC的面積，再根據體積公式解之即可．

（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

∴A1A⊥平面ABC，又BC平面ABC，

∴A1A⊥BC

∵AD⊥平面A1BC，且BC平面A1BC，

∴AD⊥BC．又AA1平面A1AB，

AD平面A1AB，A1A∩AD=A，

∴BC⊥平面A1AB，

又A1B平面A1BC，

∴BC⊥A1B；

（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．

∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上，

∴AD⊥A1B．

在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，

= ，∠ABD=60°，

在Rt∠△ABA1中，AA=AB tan60=2

由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB平面A1AB，

從而BC⊥AB，=AB BC= 22=2．

∵P為AC的中點，=S =1

= =.